z-Transform

z-Tranform: discrete-time signal에서 주로 사용하는 Transform

z-Transform (1번만 알아도 됨)

1. analize  → 2. 합성

 

 

 

The Region of Convergence (ROC) (2)

위의 파란색 표시를 z-transform한 결과 두 식은 같은 결과가 나오지만

조건이 다름 |z| > |a| vs. |z| < |a|

 

n=0일때부터 1인 신호를 u[n]으로 표현함

(0000111)

|z|>|a|: z domain에서 a라는 지점 밖에 있는 것 (outward)

n=0일때부터 0인 신호를 u[-n-1]로 아래와 같이 표현함

|z|<|a|: z domain에서 a라는 지점 안에 있는 것(inward)

z-Transform of LTI Systems (1)

LTI Systems: impulse response만 알수 있다면 입력으로부터 출력을 convolution해서 계산할 수 있음

따라서, impulse response를 찾기위해 input sequnece를 z-transform하면 됨

 

 

LTI시스템의 z-Tranform의 효용성판단

causality(h[n]=0 for n<0)를 만족하기 위해서는 outward의 상태이면 만족할 수 있음

(outward: positive, inward: negative이므로)

BIBO stability를 만족하기 위해서는 아래의 식을 만족해야 하므로, 

(BIBO stability: 입출력이 유한하다)

z-transform에서 r=1인 상태가 되면 아래 수식이 위의같이 유한하게 됨

 

 

z-Transform of LTI Systems (1)

impulse response의 z-transformation의 결과는

아래와 같이 X, Y의 비율차이로 계산될 수 있음

 

z-Transform of LTI Systems (2)

An LTI system is BIBO stable iff the ROC includes the unit circle.

(ROC가 unit circle을 포함하고 있어야함)

하다는 것은 아래 그림과 같이 파란색의 unit circle이 더 추가되어야 함

(causal이 되기위해서는 negative sequence에 대해서 0이 되어야 함)

 

For the system to be causal and stable, all poles must lie inside the unit circle.

한다는 것은 아래와 같이 unit circle안에 pole이 있다는 것임