wave basic

wave의 수식표현

wave를 수식으로 나타내면, 오른쪽방향(+)으로 파동이 이동하는 것과

왼쪽 방향(-)으로 파동이 이동하는 것을 합해서 표현할 수 있음

 

 

 

standing waves

계속 파동이 발생하면 +방향과 -방향이 overlap되면서 

아래와 같이 나타나고 standing wave(위아래로 움직이는 것) 처럼 보인다.

lambda: 파장 

f: frequency (속도를 파장으로 나눠준 것 f=c(속도)/lambda) 

k: wave 상수

 

g+q를 하면 더하기가 곱하기로 표현이 되고 (sin함수 특성)

이것은 위아래로 진동하는것처럼 보이게 됨

 

 

 

Wave Equation for the Sound Wave

가정1. 뉴턴의 제 2법칙을 활용하여 가장 아래의 노란색과 같은 식을 얻을 수 있음

delta(x)가 작을 때 taylor 방정식을 통해 아래와 같은 수식으로 표현할 수 있음

 

가정2. Equation of continuity

입자는 보존이 되기 때문에 압력을 가하게 되면 volume(큐브)안으로 들어가는 입자의 양과 빠져나가는 입자는 같다. 

The net rate with which mass flows into the volume through its surface must equal

the rate with which the mass within the volume increases.

 

들어오는 입자의 양은 면적*입자속도(v)*밀도(ρ)와 비례하게 됨

** u: volume velocity: 면적속도

 

 

 

Boundary Conditions

피스톤이 주기적으로 x=0시점에서 움직일 때, 수식으로 표현하면 아래와 같음

where, x=0일 때

피스톤의 움직임이 끝나(tube termination)는 지점의 x좌표를 l이라고 하면 아래와 같이 나타낼 수 있음

이 때, boundary condition을 적용하면 k+, K-를 구할 수 있고 이걸 다시 u, p에 적용하면

아래와 같이 u, p함수가 변형되고 이는 standing wave 폼임을 알 수 있다.

위의 식을 기본으로 real solution과 transfer function은 아래와 같이 표현 됨

** Transfer function에서의 l을 생각해보면, 입술의 지점이라 생각할 수 있음

(피스톤의 움직임이 끝나(tube termination)는 지점의 x좌표= l )

** resonance: 공명/공진/공명[공감/반향]하게 하는 힘

아래와 같이 특정 주파수에서만 resonance가 일어남